リレーショナルデータモデルの正規化

データモデル設計の改善

ある業務に関するデータモデルを設計するとき、データとして管理したい項目を頭に入れた上で最初は大まかな設計をすることになる。また、細かいところまで気を配って設計したつもりでも、あとから見落しが見つかることもある。そしてデータモデルの設計では（概念データモデルであろうが論理データモデルであろうが）いくつか問題を抱えたものが出来上がることがある。というか普通はそうである。

ここでは以下、まずリレーショナルデータモデルのリレーションが抱えてしまう問題について説明し、その後、それらの問題を解決するための指針となるリレーショナルデータモデルの正規化について説明する。

第１正規形

リレーションは表形式であらわされ、１行目に見出しがあり、見出しを構成している各項目は属性と呼ばれた。そしてそれぞれのデータはこの表で１行であらわされ、タプルと呼ばれた。つまり、タプルはそれぞれのデータで各属性の値を組にしたものである。

リレーショナルデータモデルでは、属性の値が複数の値の組となっていることは許されていない。つまり、ある属性の値がスカラーではなくさらに分解できるようになっているデータは扱うことができない。このようなことが起きているリレーションは非正規リレーションと呼ばれる。

非正規リレーションは、次のどちらかの方法で、すべての属性の値がもうそれ以上分解不可能な（つまりスカラー）値となるように改善する。

• 組になっている属性の値がバラバラになるようにデータの数（行の数）を増やす。
• 別に新たなリレーションを付け加え、分解可能な（つまりスカラーではない）属性を分離する。

どの属性の値もこれ以上分解できない値（つまりスカラー）となっているリレーションは第１正規形と呼ばれる。

更新時異状

リレーションに対してデータの更新をする際、いくつかの問題が起きることがある。これは更新時異状と呼ばれる。

更新時異状は、

• 修正時異状
• 挿入時異状
• 削除時異状

のような種類に分けて考えることができる。

修正時異状とは

あるリレーションで、ある属性の値が等しいタプルが複数あるとする。これらのタプルのうち、ある１つのタプルで、ある属性の値を修正するとき、残りのタプルのその属性も修正しないと辻褄が合わなくなってしまう。

挿入時異状とは

あるリレーションで、ある属性の値としてこれまでなかった値を新たに今後想定する必要が出てきたとする。しかし、この、これまでになかった値を属性の値として持つなにかしらのタプルが現れるまでは、リレーションにこの新たな値が反映されることはない。つまり、今後想定する必要のある新たな値をリレーションに挿入することはできない。

削除時異状とは

あるリレーションであるタプルを削除したとき、ある属性ですでに想定されていたある値がリレーションから完全になくなってしまい、その値に関係する情報が失われてしまうということが起きることがある。

関数従属性と正規化

とりあえず作ってみたリレーショナルデータモデルはこれまで説明したような問題を抱えていることが多々あるため、さらに手を加えよりよいリレーショナルデータモデルへ改善するということがよく行われる。そのときに鍵となる概念が関数従属性と呼ばれるもので、関数従属性の立場からよりよいリレーショナルデータモデルへ改善する際に取られる方法が正規化と呼ばれるものである。

関数従属性とは

あるリレーション $R$ とその属性 $A$、$B$ に注目したとする。属性 $B$ の値は属性 $A$ の値によって一意に決まってしまうようなものである場合、 $B$ は $A$ に関数従属するといい、
$$A \to B $$
とあらわす。

関数従属という概念は、属性を複数組み合わせた場合へと拡張することができる。つまり、あるリレーション $R$ とその属性の組 $A_1,A_2,\ldots,A_m$ 及び $B_1,B_2,\ldots,B_n$ に注目したとき、$B_1,B_2,\ldots,B_n$ の値は $A_1,A_2,\ldots,A_m$ の値によって一意に決まってしまうようなものである場合、$B_1,B_2,\ldots,B_n$ は $A_1,A_2,\ldots,A_m$ に関数従属するといい、
$$A_1,A_2,\ldots,A_m \to B_1,B_2,\ldots,B_n$$
とあらわす。

完全関数従属性

あるリレーション $R$ とその属性の組 $A_1,A_2,\ldots,A_m$ 及び $B_1,B_2,\ldots,B_n$ に注目したとき、$B_1,B_2,\ldots,B_n$ は $A_1,A_2,\ldots,A_m$ に関数従属していたとする。つまり、

$$A_1,A_2,\ldots,A_m \to B_1,B_2,\ldots,B_n$$

となっていたとする。そして、$A_1,A_2,\ldots,A_m$ のうちのどれか１つでも取り除いてしまうと、関数従属性が成り立たなくなってしまうとする。このようなとき、$B_1,B_2,\ldots,B_n$ は $A_1,A_2,\ldots,A_m$ に完全関数従属するという。

また、関数従属性

$$A_1,A_2,\ldots,A_m \to B_1,B_2,\ldots,B_n$$

は成り立っているが、完全関数従属ではないとする。すると、$B_1,B_2,\ldots,B_n$ は $A_1,A_2,\ldots,A_m $ の（全部ではなく）ある一部分を抜き出してできる組 $A_{i_1},A_{i_2},\ldots,A_{i_s}$ （ただしここで $s\lt m$）に関数従属している。このようなとき、$B_1,B_2,\ldots,B_n$ は $A_1,A_2,\ldots,A_m $ に部分関数従属しているという。

関数従属性の推移律

あるリレーション $R$ とその属性の組 $A_1,A_2,\ldots,A_m$ 及び $B_1,B_2,\ldots,B_n$ 及び $C_1,C_2,\ldots,C_l$に注目したとき、$B_1,B_2,\ldots,B_n$ は $A_1,A_2,\ldots,A_m$ に関数従属し、$C_1,C_2,\ldots,C_l$ は $B_1,B_2,\ldots,B_n$ に関数従属していたとする。
つまり、

$$A_1,A_2,\ldots,A_m \to B_1,B_2,\ldots,B_n$$
かつ
$$B_1,B_2,\ldots,B_n \to C_1,C_2,\ldots,C_l$$

となっていたとする。このとき、$C_1,C_2,\ldots,C_l$ は $A_1,A_2,\ldots,A_m$ に関数従属する。つまり、

$$A_1,A_2,\ldots,A_m \to C_1,C_2,\ldots,C_l$$

が成り立つ。この事実は、関数従属性の推移律と呼ばれる。また、このようなとき、属性の組 $C_1,C_2,\ldots,C_l$ は属性の組 $A_1,A_2,\ldots,A_m$ に推移的に関数従属しているという。

自明な関数従属性

あるリレーション $R$ とその属性の組 $A_1,A_2,\ldots,A_m$ に対して、$A_1,A_2,\ldots,A_m$ はもちろん自分自身 $A_1,A_2,\ldots,A_m$ に関数従属している。つまり、

$$A_1,A_2,\ldots,A_m \to A_1,A_2,\ldots,A_m$$

は明らかに成り立つ。これは自明な関数従属性と呼ばれる。また、 $A_1,A_2,\ldots,A_m$ に任意の属性の組 $B_1,B_2,\ldots,B_m$ を加えてできる属性 $A_1,A_2,\ldots,A_m,B_1,B_2,\ldots,B_m$ から属性 $A_1,A_2,\ldots,A_m$ への関数従属性

$$A_1,A_2,\ldots,A_m,B_1,B_2,\ldots,B_m \to A_1,A_2,\ldots,A_m$$

も明らかに成り立つ。この事実も、自明な関数従属性と呼ばれる。

つまり、自明な関数従属性とは、ある属性の組を考えたとき、その属性の組全部または一部分からなる組は必ずその属性の組に関数従属しているという事実である。

正規化

リレーショナルデータモデルでは、非正規リレーションを扱うことはしないので、以下、すでに第１正規形となっているリレーションのみを考える。

第２正規化

あるリレーション $R$ は第１正規形であるとする。また、自明な関数従属性以外に、$R$ の候補キーに部分関数従属している属性または属性の組を持っているとする。このようなとき、リレーション $R$ は更新時異状を引き起こす可能性を抱えている。

この例のようにして得られた複数のリレーションはどれも、次の条件を満たすものとなる。

1. 第１正規形である。
2. どのような候補キーを選んだときにも候補キーに含まれることがない属性は、どのような候補キーを選んだとしても候補キーに完全関数従属している。

上記の条件を満たすリレーションは第２正規形と呼ばれ、第１正規形から第２正規形への改善を第２正規化という。

補足：どのような候補キーを選んだときにも候補キーに含まれることがない属性を非キー属性という。

第３正規化

あるリレーション $R$ は第２正規形であるとする。また、ある非キー属性または非キー属性の組が、$R$ のある候補キーに（候補キー以外の属性を介して）推移的に関数従属しているとする。このようなとき、リレーション $R$ は更新時異状を引き起こす可能性を抱えている。

以上のようにして得られる複数のリレーションはどれも、次の条件を満たすものとなる。

1. 第２正規形である。
2. どのような候補キーを選んだときにも候補キーに含まれることがない属性は、どのような候補キーを選んだとしてもその候補キーに（候補キー以外の属性を介して）推移的に関数従属していない。

上記の条件を満たすリレーションは第３正規形と呼ばれ、第２正規形から第３正規形への改善を第３正規化という。

ボイスコッド正規化

あるリレーション $R$ は第３正規形であるとする。また、複数の属性からなる候補キーが複数存在するとする。そして、ある候補キーに含まれるある属性が別の候補キーに含まれるある属性に従属しているとする。このようなとき、リレーション $R$ は更新時異状（修正時異状、挿入時異状、削除時異状）を引き起こす可能性を抱えている。

以上のようにして得られる複数のリレーションはどれも、次の条件を満たすものとなる。

$A$ と $B$ をそれぞれリレーション $R$ の属性または属性の組とし、$A\to B$ を関数従属性とする。
$A\to B$ は自明な関数従属性であるか、そうでなければ $A$ は候補キーである。

上記の条件を満たすリレーションはボイスコッド正規形と呼ばれ、ボイスコッド正規化への改善をボイスコッド正規化という。